Пособие, написанное известным педагогом, специалистом школьной геометрии, включает как векторные задачи, так и смешанные задачи классической геометрии, решаемые с помощью векторов. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Часть 2. Векторный метод решения задач.
Векторные задачи: эффективные методы решения
Равенство, коллинеарность, противоположность и одинаковость направления векторов Два вектора называются равными если они сонаправленны и их длины равны. Коллинеарные векторы лежат на параллельных, векторах, либо на одной прямой, но нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Две полупрямые называются одинаково направленными, если они совмещаются параллельным переносом. Две полупрямые противоположно направлены, если каждая из них одинаково направлена с полупрямой дополнительной к другой. Операции над векторами Так же с векторами можно производить различные операции: Складывать по правилу треугольника, по правилу параллелограмма, по правилу многоугольника, на плоскости и в пространстве по правилу параллелепипеда , вычитать по правилу треугольника , наконец умножать вектор на число. Хотелось бы заметить, что на плоскости вектор имеет 2 координаты: 1-абсцисса, 2-ордината, а в пространстве 3: 1-абсцисса, 2-ордината, 3-аппликата. Векторы в пространстве. Высь, ширь, глубь, Лишь, три координаты.
Мимо них, где путь? Засов закрыт… В. Один из разделов моей работы посвящён векторам в пространстве. Основные понятия для векторов в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости, но есть новое понятие - компланарные векторы. Если имеются равные векторы, лежащие в одной плоскости, то эти векторы — компланарны. Векторное пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов трех- мерного пространства на случай произвольного числа измерений. Множества всех плоских и пространственных векторов, для которых определены операции сложения и умножения, а также умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств.
Прямоугольная система координат в пространстве. Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление оно обозначается стрелкой и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве. Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка- началом координат. Она обозначается обычно точкой О. Вся система координат обозначается Охуz. Точка О разделяет каждую из осей координатё на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч — отрицательной полуосью.
Правильно подберите наряд, так как одежда докладчика также играет большую роль в восприятии его выступления. Старайтесь говорить уверенно, плавно и связно. Старайтесь получить удовольствие от выступления, тогда Вы сможете быть более непринужденным и будете меньше волноваться. Информация о презентации Ваша оценка: Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов Дата добавления:4 октября 2018.
Поскольку рассмотренные векторы имеют общую точку, то они лежат на одной прямой, что в свою очередь доказывает, что точка М принадлежит прямой KL. Список использованной литературы: Атанасян Л. Учебник: Геометрия. Атанасян, В.
Проверить правильность найденного решения путем операций с единицами величин. Подставить в формулу числовые значения величин в том же порядке, что символы в формуле, произвести вычисления. Оценить достоверность полученного значения искомой величины по здравому смыслу. Выполнить анализ решения задачи. Если сопоставите приведенные здесь или разработанные Вами алгоритмы для решения другого типа задач, то заметите, что эти алгоритмы представляют собой частные случаи общего подхода к решению задач, описанного в данных методических указаниях. Самостоятельно разработать алгоритм решения задач определенного типа — это значит продемонстрировать умение решать задачи этого типа. Предыдущие разделы позволили Вам посмотреть на привычные практические занятия по решению учебных задач по физике с несколько иной позиции. Вы увидели и отметили для себя, что на этих занятиях нужно обязательно получить знания о процессе решения, овладеть деятельностью, позволяющей грамотно проводить и описывать процесс решения задач, поняли, что осваивать эту деятельность, т. Поэтому на практических занятиях по любой дисциплине, включая физику, нужно не только усваивать методы решения отдельных типов задач, но и связанную с их решением деятельность, а также общие приемы, пригодные для решения любых задач. Все эти знания и умения Вам нужны не только для решения уже готовых, предварительно кем-то сформулированных задач, но и для самостоятельного составления и формулировки новых, сначала учебных, а затем и производственных задач. В производственных условиях инженеру часто необходимо самому увидеть, из большого числа факторов выделить наиболее существенные, сформулировать условия и требования задачи так, чтобы решение в конечном итоге соответствовало цели, отвечало на нужный вопрос, снимало ограничения или, наоборот, выдвигало систему условий. Увидеть задачу, сформулировать ее и предложить для решения в виде, выявляющем нужные связи, совсем не простое дело. Вырабатывать такое умение нужно начинать на практических занятиях по общенаучным и общеинженерным дисциплинам. Путь к овладению таким умением — самостоятельное составление задач. Процесс решения задачи начинается с изучения содержания задачи — детального анализа ее условий и требований. Поэтому верная, грамотная формулировка содержания очень важна для каждой конкретной задачи. Четкая формулировка содержания задачи может указать направление поиска ее решения, помочь составлению плана решения. И, наоборот, нечеткая формулировка условия с большим числом несущественных связей может увести в сторону от верного пути решения. Формулировкой условий и требований обычно завершается составление задачи. Что же нужно делать, чтобы придти к верной и четкой формулировке? Задача — это всегда отражение определенной ситуации, требующей направленного размышления и действия. Для выявления такой ситуации нужно уметь наблюдать явления, устанавливать связи между величинами, характеризующими явления, выделять цель поиска и формулировать ее как конечный результат. Поэтому анализ ситуации, которую Вы хотите отразить в задаче, должен начинаться с вопросов, позволяющих ознакомиться с данной ситуацией и осмыслить ее. Эти вопросы очень сходны с теми, которые Вы используете при обычном анализе условий задачи. Для предполагаемой задачи, т. Какое физическое явление будет рассмотрено в задаче? В каком объекте, и при каких условиях данное явление удастся наблюдать в наиболее ярком виде? Какие свойства объекта при этом должны оставаться постоянными? Изменения, каких свойств объекта и внешних условий необходимо контролировать для наблюдения явления? Какие величины, характеризующие явление, могут быть заданы и измерены прямо? Какие постоянные нужно использовать для решения задачи? Использование, каких других постоянных величин будет обязательно подразумевать предполагаемая задача? Можно ли характеризовать данное явление через наблюдение и проявление другого явления? Какого именно? Цель Вашей деятельности при составлении задачи может быть разной. В зависимости от цели нужно по-разному подходить к ее составлению. Существуют различные способы составления учебных задач. Самый простой из них — это составление задачи, обратной уже решенной, с использованием этого же сюжета и значения физических величин: Вам нужно только сделать искомую величину известной, а одно из данных задачи — искомым. Другой способ составления задачи — это использование других числовых значений физических величин и сюжета: фактически Вы должны сформулировать новую задачу, опираясь лишь на разобранную задачу. Можно составить задачу, аналогичную решенной задаче, но с иным сюжетом или с другими числовыми значениями физических величин. Например, схема текста известна, и Вы должны подобрать новый сюжет и реальные данные. И еще можно сформулировать задачу так, чтобы результатом ее решения было нахождение другой физической величины: условие задачи дано, Вам нужно найти дополнительную физическую величину, зависящую от данных, приведенных в условии задачи. Можно составить и обобщенную задачу. Все рассмотренные выше способы составления задач есть частный случай способа составления обобщенных задач. Обобщенная задача формулируется так, чтобы ее условия и требования направляли процесс решения на построение математической модели, позволяющей описать все возможные частные случаи изменений состояния рассматриваемого объекта. Для составления обобщенной задачи необходимо: — проанализировать уравнение математическую модель , выражающее связь между величинами, характеризующими рассматриваемое явление; — выделить величины, изменение которых при выбранной математической модели отражается на значении искомой величины; — установить, исходя из реальных физических условий, возможные частные случаи; — учесть в обобщенной формулировке весь диапазон изменения условий. Умение составить и решить обобщенные задачи на определенный раздел однозначно свидетельствует о том, что Вы глубоко и всесторонне 22 изучили теоретический материал данного раздела. Вы усвоили, при каких условиях и как протекает явление процесс , рассматриваемое в этом разделе, хорошо разобрались в особенностях физических величин, введенных для количественного описания изученных явлений, вникли в суть законов, устанавливающих связь между этими величинами. Иначе говоря, Вы усвоили изученный материал на таком уровне, что можете использовать его не только в знакомых стандартных ситуациях, но и готовы применять в новых нестандартных условиях. Основная задача Вашей учёбы в вузе — это получение профессиональных знаний и умений. Поэтому наиболее интересной и полезной для Вас окажется работа по самостоятельному составлению задач с профессиональным содержанием. Дать конкретные советы по составлению таких задач сложно, так как их содержание может быть самым разным. Можно только указать общие правила и примеры, помогающие выполнить такое задание. Определите для себя и запишите ответы на такие вопросы. Что служит выбрано объектом в составляемой задаче: материал с определенными свойствами, способ изменения свойств материала, способ контроля свойств или состояния материала, процесс, способ контроля физического технологического процесса, специальное устройство, механизм, прибор? Какие физические явления лежат в основе устройства, прибора, установки, выделенных методов контроля, рассматриваемого процесса? Какие физические величины с достаточной для практики полнотой характеризуют это явление, какой закон и какая теория описывают особенности протекания этого явления? Какие величины в реальных условиях обычно бывают заданы? Какие из этих величин не изменяют своих значений? Возможно, что для ответа на эти вопросы придется обращаться к литературе по профилю Вашей будущей специальности: к справочникам, учебным пособиям, монографиям. Даже не очень детальные, без мелких подробностей, ответы на такие вопросы позволяют Вам формулировать физическую задачу в виде реальной потребности, реального запроса производства. Составив несколько задач такого содержания, Вы на собственном примере еще раз убедитесь в особом значении и широком использовании физических знаний. Такое задание вполне выполнимо, для примера приведем задачи, составленные студентами. Задача 1. Мостовой кран в механическом цехе вертикально поднимал контейнер с изделиями массой 250 кг на высоту 4 м с постоянной силой. При этом была совершена работа 10,6 кДж. С каким ускорением поднимали груз? Задача 2. В процессе работы токарного патронно-центрового станка с ЧПУ в условиях повышенной температуры в его пневмоприводе используется инертный газ неон, который при низком давлении 45 кПа нагревается. Объем при этом увеличивается от 2 м3 до 4 м3. Определить 23 изменение внутренней энергии неона; работу, совершенную при расширении; количество теплоты, сообщенное газу. Задача 3. При обработке стальной детали массой 3 кг на токарновинторезном станке температура детали повысилась на 150 K. Для охлаждения детали применяется смазочная охлаждающая жидкость на основе воды. При этом жидкость повышает свою температуру на 15 K. Сколько жидкости необходимо для охлаждения детали? В заключение дадим несколько советов о литературном оформлении условий и требований задачи, то есть о форме выражения условий и требований задачи. Задача обычно состоит из двух взаимосвязанных частей: утверждающей — несущей информацию о физических явлениях и процессах, о конкретных условиях их протекания, и требовательно вопросительной. При формулировке утвердительной части как можно более полно и четко описывайте изучаемое явление. Используйте при этом логически законченные, правильно построенные и лучше простые предложения. Такое описание будет способствовать раскрытию внутренних связей между данными и искомыми элементами задачи. Требовательно-вопросительная часть задачи должна быть точной и конкретной. Вопрос, по возможности, надо помещать в начале условия задачи, так как с него начинается активная мыслительная деятельность решающего. Старайтесь, чтобы вопрос ставил одну проблему. Не объединяйте в одно предложение два вопроса. Если они оба нужны, то сформулируйте каждый из них в отдельности, задайте последовательно. Вопрос не должен направлять человека, решающего задачу, на неправильные рассуждения. Поэтому, составляя задачу, особое внимание уделяйте выделению искомой величины и формулировке вопроса. Составьте сами для начала одну настоящую задачу. Вы увидите, что эта работа посильная и очень интересная. Пока поверьте на слово, что эта работа еще и очень полезна для Вашего становления как специалиста. Если Вы научитесь составлять новые задачи желательно с профессиональным содержанием и разрабатывать алгоритмы их решения, постоянно будете использовать, закреплять и совершенствовать эти умения при изучении других дисциплин, то можете быть уверенными, что к окончанию института у Вас будет сформирован правильный общий подход составлению и решению задач. У Вас будут выработаны устойчивые умения решать любые задачи, в том числе и профессиональные задачи. Знание необходимости анализировать условия и требования задачи. Знание особенностей различных форм изображения реальной и задачной ситуаций, правило оформления результатов анализа условий и требований задачи, составления графической модели задачной ситуации. Знание особенностей словесного описания и составления физической и математической моделей реального процесса. Знание эвристических приемов решения задач. Знание правил приближенных вычислений. Знание правил математических действий над именованными числами. Знание достоинств и недостатков каждого из четырех видов изображения функциональной зависимости между величинами. Знание методов проверки решения задач. Знание правил оформления результатов решения. Знание цели анализа, хода и результата решения задачи и различных подходов к такому анализу. Знание структуры задач и требований к составлению задач. Умение выделять в задачах последовательность обязательных общих этапов. Умение анализировать условия и требования задачи. Умение кодировать выражать условия и требования, приведенные в словесной форме, в буквенных выражениях, изображать задачную ситуацию в графической форме. Умение составлять математические модели реальных ситуаций, т. Умение пользоваться эвристическими приемами для поиска решения задач и составления плана их решения. Умение выполнять математические действия с приближенными числами. Умение выполнять математические действия с именованными числами. Умение изображать функциональную зависимость между величинами в вербальной словесной , табличной, графической и аналитической форме. Умение проверять результаты решения. Умение правильно записывать процесс решения задачи. Умение анализировать процесс решения задачи, находить общие черты решения задач на определенную тему, составлять алгоритмы решения задач отдельных типов. Умение составлять задачи. Умение составлять и решать задачи. На высоте h параллельно поверхности Земли летит утка со скоростью v1. Найти, на какой высоте h летела утка, если камень все же попал в нее. Тело начинает двигаться со скоростью Vо, находясь посередине наклонной плоскости. РЕШЕНИЕ: Вначале тело будет двигаться вверх по наклонной плоскости с отрицательным ускорением а1 до остановки, а затем будет двигаться ускоренно вниз с ускорением а2.
Векторные задачи: эффективные методы решения
Векторы можно использовать как для решения планиметрических задач, так и для стереометрических. Векторно-координатный метод решения задач позволяет с лёгкостью решать даже самые большие и сложные задачи, избегать долгих доказательств теорем. -Сегодня на примере решения физических задач с векторными величинами мы постараемся убедиться в истинности данного высказывания. Учитель физики: И неслучайно, вектор в школьной программе изучается в математике и физике. Проект предполагает изучение векторного произведения векторов в трехмерном пространстве, его свойств и применение для решения различных задач.
Применение векторов в прикладных науках
При этом точку В на прямой следует выбрать так, чтобы векторы и были сонаправлены. Очевидно, есть искомый вектор. Получившийся в результате этого построения вектор есть вектор рис. На рисунке изображено построение суммы двух коллинеарных векторов: а сонаправленных, б противоположно направленных, в векторов, из которых один нулевой, г равных по модулю, но противоположно направленных в этом случае, очевидно, сумма векторов равна нуль-вектору. Легко видеть, что сумма двух векторов не зависит от выбора исходной точки О. Очевидно также, что если Из правила треугольника для сложения двух векторов вытекает простое и очень полезное для решения задач правило: каковы бы ни были три точки A, В и С. Если слагаемые векторы не коллинеарны, то для получения их суммы можно пользоваться другим способом -- правилом параллелограмма. На рисунке 5 дано построение суммы векторов и по этому правилу. Все векторы, противоположные данному, равны между собой. Перенесем вектор в точку A и от его конца В отложим вектор , конец которого обозначим через С рис. Из нашего построения следует, что 1.
Отсюда вытекает, что есть вектор, противоположный вектору. Теорема доказана. Вектор, противоположный вектору , обозначается. Из Теоремы [1. На основании ассоциативного закона теорема[1. Больше того, из теоремы [1. Пользуясь доказательством теоремы [1. Пусть О -- начало вектора. Перенесем вектор в конечную точку вектора , а вектор -- в конечную точку вектора. Обобщая правило, данное для построения суммы трех векторов, можно указать следующее общее правило сложения нескольких векторов.
Чтобы построить сумму векторов ,…, достаточно вектор перенести в конечную точку вектора , затем вектор перенести в конечную точку вектора и т.
Хотелось бы заметить, что на плоскости вектор имеет 2 координаты: 1-абсцисса, 2-ордината, а в пространстве 3: 1-абсцисса, 2-ордината, 3-аппликата. Векторы в пространстве.
Высь, ширь, глубь,Лишь, три координаты. Мимо них, где путь? Засов закрыт… В.
Один из разделов моей работы посвящён векторам в пространстве. Основные понятия для векторов в пространстве вводятся так же ,как и для векторов на плоскости, но есть новое понятие - компланарные векторы. Если имеются равные векторы, лежащие в одной плоскости, то эти векторы — компланарны.
Векторное пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов трех- мерного пространства на случай произвольного числа измерений. Прямоугольная система координат в пространстве. Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление оно обозначается стрелкой и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка- началом координат. Она обозначается обычно точкой О. Вся система координат обозначается Охуz.
Точка О разделяет каждую из осей координатё на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч — отрицательной полуосью. В прямоугольной системе координат каждой точке пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.
Они определяются аналогично координатам точек на плоскости. Скалярное произведение векторов Зная, как выполняется сложение векторов и умножение вектора на число. Введём ещё одно действие над векторами — скалярное умножение векторов.
Задачи на доказательство принадлежности четырех точек одной плоскости. Задачи на доказательство перпендикулярности. Задачи на вычисление длины отрезка.
Задачи на нахождение величины угла. Задачи на вычисление площадей и объемов геометрических фигур.
Для общеобразоват. Атанасян, В. Бутузов, С. Кадомцев и др. Все для ЕГЭ 2012.
Мавльцев, А. Мальцев, Л. Сборник задач по физике: Для 10-11 кл. Баканина, В. Белонучкин, С. Козел; Под ред.
Все еще сложно?
- ADVANTAGES OF THE VECTOR METHOD FOR SOLVING GEOMETRIC PROBLEMS
- Ответы : Приведите примеры применения векторов к решению геометрических задач?
- А.И. Кушнир. Векторные методы решения задач
- РЭШ Урок 18. Компланарные векторы. Векторный метод решения задач. | Видео
- Проект «Ох, уж эти векторы!» — Информио
Разделы презентаций
- Программно-методический материал для спецкурса по теме «Векторный метод решения задач».
- Применение векторов к решению задач курсовая работа
- Другие презентации по данной теме
- Домашний очаг
Векторы и их применение в прикладных науках презентация
Программа GeoGebra поспособствует опыту решения пространственных задач векторно-координатным методом, учащиеся более осознано смогут подойти к алгоритму решения задачи на ЕГЭ. Успешность овладения учащимися векторным методом решения геометрических задач зависит от умения переходить от геометрического языка к векторному и обратно. Для успешной работы учащихся с векторами необходимо: треть цели изучения векторного метода в школе. Векторы можно использовать как для решения планиметрических задач, так и для стереометрических. Векторно-координатный метод решения задач позволяет с лёгкостью решать даже самые большие и сложные задачи, избегать долгих доказательств теорем.
Научная работа "Применение векторов к решению задач"
Цель исследования: рассмотреть понятие вектора с точки зрения автомеханики. Задачи исследования: 1. Рассмотреть определение понятия «Вектор» в математике и технической механике. 4. Использовать векторный метод при решении задач; 5. Познакомиться с широким применением векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии. Глава I. Векторная алгебра 1.1. Понятие вектора, понятийный аппарат. Использование сюжетных задач, ре шаемых арифметически, дает учителю возможность организовать продуктив ную деятельность учащихся, в ходе ко торой под руководством учителя и бу дет «открыт» один из способов реше ния таких задач, например «на встреч ное движение».
Векторные задачи: эффективные методы решения
Вектор аналогично вектору можно представить в виде разности векторов. При выражении следует учесть тот факт, что точка В1 является серединой отрезка АС, значит, векторы и равны, значит, вектор можно представить как удвоенное произведение вектора. Вектор аналогично вектору можно представить в виде разности векторов. При выражении следует учесть тот факт, что точка В1 является серединой отрезка АС, значит, векторы и равны, значит, вектор можно представить как удвоенное произведение вектора. Иногда использование знаний о векторах, а также умений и навыков построения векторов, их суммы и вычитания помогают решить некоторые задачи быстрее и легче, чем с использованием каких-то других методов. С помощью векторов доказываются многие теоремы. Краткая запись условий и требований воссоздает общую картину, представленную в задаче, помогает удержать в памяти исходные данные и требования, способствует уяснению прямо заданных в тексте зависимостей. научить обучающихся выполнять действия над векторами как направленными отрезками, что важно для применения векторов в физике; познакомить с использованием векторов при решении геометрических задач. В научно-методической литературе почти нет книг о векторных методах решения задач. Пособие, написанное известным педагогом, специалистом школьной геометрии, включает как векторные задачи, так и задачи классической геометрии, решаемые с помощью векторов.