∠ ABC – вписанный угол Вписанный угол АВС опирается на дугу АС.
Угол. Вписанный угол.
| Определение, свойства, теорема хорды окружности | Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. |
| справочные материалы Окружность | Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Равные хорды окружности стягивают равные дуги. |
Теория и практика окружности
Для этого используется тригонометрия и знание теоремы о синусах или косинусах. Примечание: Вписанные углы и хорды используются в различных областях, таких как геометрия, астрономия, физика и другие. Секреты нахождения вписанного угла Существует несколько методов нахождения вписанного угла: Метод Описание Использование теоремы о центральном угле Теорема о центральном угле гласит, что вписанный угол равен половине центрального угла, образованного этим углом на окружности. Использование формулы синусов Если известны длины хорды и радиуса окружности, можно воспользоваться формулой синусов для нахождения вписанного угла. Использование теоремы косинусов Если известны длины двух хорд, пересекающихся в вершине вписанного угла, можно воспользоваться теоремой косинусов для нахождения вписанного угла. Использование свойств вписанных углов Свойства вписанных углов помогают находить значения вписанных углов при известных углах в треугольнике или между касательными и хордами. Каждый из этих методов имеет свои особенности и требует некоторых знаний в области геометрии. Однако, они позволяют находить значения вписанных углов с высокой точностью и применять их в решении задач различного уровня сложности.
Алгоритмы нахождения вписанного угла Существуют различные алгоритмы нахождения вписанного угла, однако один из самых простых и распространенных алгоритмов основан на использовании теоремы о вписанном угле. Алгоритм нахождения вписанного угла: Найдите середину хорды, которая проходит через две точки окружности.
Угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами. Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами. Угол между касательной и секущей, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами. Угол между касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.
Предположим, к нам в гости пришли друзья, и теперь нужно разделить пиццу между всеми. Разумеется, мы разрежем ее на несколько кусочков. Форма кусочков пиццы очень напоминает сектор круга. Сектор — это часть круга, которую ограничивают радиусы и дуга. При этом два радиуса делят круг на два сектора: один больший, а другой меньший. На рисунке один из них закрашен фиолетовым, а другой белым. Если мы захотим отрезать только один кусочек пиццы, то и отрезанный кусочек, и оставшаяся пицца будут секторами круга. Теперь разрежем пиццу иначе. Отрежем кусочек по прямой, не проходя через ее середину: Таким образом, мы отрежем уже не сектор, а сегмент от пиццы. Сегмент — это часть круга, которая ограничена хордой и дугой. Причем одна хорда является границей для двух сегментов: и отрезанный кусочек пиццы, и оставшаяся часть будут сегментами. На рисунке ниже один сегмент закрашен фиолетовым, а другой белым. Подведем итог: И в окружности, и в круге можно встретить радиус, диаметр, хорду и дугу. В круге дополнительно появляются сектор и сегмент. Формулы для окружности и круга Мы рассмотрели окружности и круг, а также их элементы, однако ни одну задачу не получится решить без формул. Давайте рассмотрим их. Однако перед этим необходимо ввести еще несколько терминов. Длина окружности — это длина кривой, которая образует окружности. Если мы с помощью сантиметровой ленты измерим длину нашего обруча, то как раз получим длину окружности. Длина дуги — это длина части кривой, которая образует окружность. Отличие от длины окружности только в том, что тут измеряется не вся кривая, а только ее часть. В таблице ниже приведены основные формулы, которые могут встретиться при решении задач. Дуга окружности Дугу можно измерять не только в единицах измерения длины, но и в градусах. Тогда половина дуги окружности будет равняться 180. Полуокружность ограничивается двумя концами диаметра. Это означает, что человек меняет свое мнение буквально на противоположное. Рассмотрим на примере окружности: пусть человек стоит в точке А. Поскольку человеку нужно пройти полуокружность, то она ограничивается диаметром.
Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности: Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника АВС складывается из периметров отсеченных треугольников. Ответ: 24. А вот одна из сложных задач В3: 6. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10.
Вписанный и центральный угол окружности
Вписанный угол, который опирается на диаметр, прямой. Угол AOC и угол AOK являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же хорду AC. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° (поскольку опирается на дугу, равную половине длины всей окружности, то есть 180°. Откуда половина 180° = 90°). Угол AOC и угол AOK являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же хорду AC. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны или их сумма равна 180^{circ}.
Углы и дуги в окружности: центральный, вписанный
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Вписанный угол, опирающийся на диаметр. это когда вершина не на окружности, а в центре окружности). Вписанный угол Обозначение вписанного угла. Центральный угол в два раза больше вписанного, если они опираются на одну и ту же дугу. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.
Геометрия. 8 класс
Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними. Угол между касательной и секущей, равен полуразности дуг, которые они высекают. Докажем второй пункт теоремы. Докажем третий пункт теоремы. Докажем четвертый пункт теоремы.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол САО — прямой. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги АВ — тоже 62 градуса. Ответ: 62. Это чуть более сложная задача. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол ОАС — прямой. Ответ: 26. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Проведем радиус ОВ в точку касания, а также радиус ОА. Треугольник ВОА — равнобедренный. Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.
Это конспект по теме «Центральный угол. Вписанный угол». Выберите дальнейшие действия: Перейти к следующему конспекту:.
Вывод доказательств теоремы во вписанном угле
Вписанный угол. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. 1. Угол ABC, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называют вписанным в окружность. Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (Рис.5). 6. Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды. 7. Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается. Сумма градусных мер дуг окружности с общими концами равна 3600. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. 133. Если хорду AB (чер.
Центральные и вписанные углы презентация
В геометрии вписанный угол — это угол, который образуется двумя хордами, выпущенными из точек касания окружности с данной хордой. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, острый. Любая пара вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны от этой хорды, составляют в сумме 180°. В геометрии вписанный угол — это угол, который образуется двумя хордами, выпущенными из точек касания окружности с данной хордой. Вписанный угол опирается на хорду, которая соединяет точки пересечения сторон угла и окружности.
Окружность - определение и вычисление с примерами решения
| Теорема о вписанном угле / Окружность / Справочник по геометрии 7-9 класс | Если ты проведешь два угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, то увидишь: образуется четырехугольник. Этот четырехугольник вписан в данную окружность, а это значит, что сумма противолежащих углов этого четырехугольника равна 180 градусов. |
| Углы, связанные с окружностью | Если ты проведешь два угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, то увидишь: образуется четырехугольник. Этот четырехугольник вписан в данную окружность, а это значит, что сумма противолежащих углов этого четырехугольника равна 180 градусов. |
| Окружность и круг — что это, определение и ответ | Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. |
| Глоссарий. Алгебра и геометрия | Окружность: радиус, перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам. |
| Окружность и круг | D Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду в сумме составляют 1800. |
Окружность и круг
Вписанный угол — это угол, чьи концы лежат на окружности, а стороны — на ее хорде. Вписанный угол– это угол, сформированный двумя хордами, берущими начало в одной точки окружности. 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Геометрия 8. Основные определения и теоремы Learn with flashcards, games, and more — for free. Вписанный угол — термин планиметрии; обозначает угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность. Свойства Теорема о вписанном угле: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Углы в окружностях презентация, доклад
| Вписанная окружность | Хо́рда (от греч. χορδή — струна) в планиметрии — отрезок, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы, гиперболы). |
| Углы, связанные с окружностью | вписанные углы опирающиеся на одну дугу. |
Вывод доказательств теоремы во вписанном угле
Если одна из сторон вписанного угла проходила бы чрез центр, то дело упрощалось бы и еще скорее получилась бы та же зависимость. Итак, найденная зависимость справедлива для всех возможных случаев. Поэтому имеем: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Если хорду AB чер.
Наконец, прямая AB может сделаться касательною к кругу чер. Уже из того процесса вращения, которым мы перешли от вписанного угла к этому новому углу, видно, что угол, составленных хордою и касательною, являясь предельным случаем вписанного угла, должен подчиниться той же зависимости, которая была найдена в предыдущем п. Но возможно то же самое увидать иначе.
Этот результат можно выразить в следующей форме: Угол, составленный хордой и касательной, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную внутри первого угла. Построим в круге O чер. Построим в круге какую-либо хорду AB чер.
Поместим теперь наш глаз в какую-либо точку N вне круга. Общим результатом предыдущих изысканий является заключение: Геометрическим местом точек, из которых какой-либо отрезок виден под одним и тем же углом, есть дуга круга, проходящего чрез концы этого отрезка. Если бы мы захотели рассмотреть точки и по другую сторону прямой AB, то нашли бы и с другой ее стороны такую же дугу, так что полное геометрическое место указанных точек состоит из двух дуг см.
Построить геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом. Пусть дан отрезок AB и угол m чер. Построим геометрическое место точек, из которых AB виден под углом m.
Постараемся сначала найти одну точку этого места. Чтобы получить искомое геометрическое место, остается построить круг чрез точки A, N и B, что мы умеем делать п. Вот другой способ построения того же геометрического места.
При точке A чер. Найти точки, из которых два данных отрезка видны под прямыми углами. Найти точки, из которых два данных отрезка видны каждый под данным углом.
Слайды 6; 7 для решения задач по готовым рисункам: рисунок 9, рисунок 10. Таблица 11. Слайд 8 для решения тренировочных задач более высокого уровня сложности: рисунок 11, рисунок 12. Касательная к окружности". Листок двойной с копировальной бумагой для написания теста. Слайд 9 для проверки теста, слайд 10 критерии оценки теста. Список учащихся для предварительного подведения итогов урока. Предварительная подготовка к уроку.
Подготовить слайд для устного решения задач: рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3, рисунок 4, рисунок 5, рисунок 6. Подготовить слайд для проверки практической работы: рисунок 7.
Дуга окружности , соответствующей центральному углу - часть окружности внутри плоского угла. Градусная мера дуги окружности - градусная мера соответствующего центрального угла. Вписанный угол - вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность хорды.
Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам теорема синусов : [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Теорема Птолемея: Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей:. Окружность, вписанная в многоугольник Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности. Теоремы: Центром вписанной в четырехугольник окружности является точка пересечения биссектрис если она биссектрисы всех его углов пересекаются в одной точке. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб, квадрат. Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия — полусумме боковых сторон: ,. Окружность, описанная около четырехугольника Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность. Теоремы: Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна.
Углы, связанные с окружностью.
Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом. Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой. Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Свойства касательной Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
На картинке угол AOB — центральный, потому что вершина угла и центр окружности — это одна точка О. Он опирается на дугу AB, не содержащую точку С. Чем вписанный угол отличается от центрального? Однако кроме центральных существуют также вписанные углы.
В чем же их различие? Так же как и центральный, вписанный в окружность угол опирается на определенную дугу. Но его вершина не совпадает с центром окружности, а лежит на ней. Приведем следующий пример. Угол ACB называется углом, вписанным в окружность с центром в точке О. Точка С принадлежит окружности, то есть лежит на ней. Угол опирается на дугу АВ. Чему равен центральный угол Для того чтобы успешно справляться с задачами по геометрии, недостаточно уметь различать вписанный и центральный углы. Как правило, для их решения нужно точно знать, как найти центральный угол в окружности, и уметь вычислить его значение в градусах. Итак, центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
Таким образом, центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.
Что следует из этой теоремы? Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин треугольника. Это прямое следствие теоремы; Медиана, проведенная к гипотенузе, делит исходный треугольник на два равнобедренных. Как раз это и требуется для решения задачи B8. Найдите угол ACD. Получается, что CD — медиана, проведенная к гипотенузе.
В частности, рассмотрим треугольник ADC. Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны — см. Итак, осталось выяснить, чему равен угол A.
Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Найдите угол DAE. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB.